Хвала алгебре

Избрание членом-корреспондентом РАН на майском Общем собрании Академии стало для Александра Алексеевича Махнева подарком к юбилею: 7 мая нынешнего года ему исполнилось 50. А наша беседа послужила для него поводом произнести хвалу алгебре — красивейшей из всех наук, которой, раз увлекшись, невозможно изменить. Во всяком случае, Александр Алексеевич следует избранному научному направлению без заметных отклонений. Окончив школу с отличием (мог бы получить серебряную медаль, но как раз в те годы ее временно отменили), он поступил на математико-механический факультет УрГУ. После университета сразу пришел в Институт математики и механики УрО РАН в отдел алгебры, которым тогда заведовал доктор физико-математических наук А.И. Старостин. В 1992 году его реорганизовали в отдел алгебры и топологии, который сегодня возглавляет А.А. Махнев.

   Об области своих научных исследований — теории групп, графов и конечных геометрий — Александр Алексеевич прочитал мне настоящую «лекцию для дилетантов», которую я постаралась добросовестно законспектировать. Вот основные ее моменты:
   — Теория групп изучает симметрии различных объектов. Простейший пример симметрии – отражение куба относительно плоскости, разрезающей его пополам. Куб симметричен также относительно своей центральной точки — это центральная симметрия. Различные виды симметрии наблюдаются в природе, в физических, химических и биологических объектах (в частности, в последние годы некоторые модели элементарных частиц описываются с помощью теории конечных групп). 
   Теория групп возникла в начале XIX века. Начало ее развитию положили идеи французского математика Э. Галуа, а также К. Жордана — автора первой книги по этой проблеме «Трактат о подстановках». В начале XX века вышли работы У. Бернсайда и О.Ю. Шмидта. Да, того самого Отто Юльевича Шмидта, которого все знают как выдающегося полярного исследователя. Между тем основное его научное направление — теория групп, и его книга «Абстрактная теория групп» стала первой, изданной на русском языке. 

В конце 70-х годов прошлого века встала задача классификации простых конечных групп. В рамках международной программы в решении этой задачи участвовали сотни ученых из разных стран мира — в математике явление невиданное. Инициаторами и кураторами международного проекта выступили американские ученые Д. Горенстейн и М. Ашбахер. Они внесли существенный вклад в решение проблемы. В программе участвовали и российские научные коллективы: уральские ученые во главе с А.И. Старостиным, новосибирские математики во главе с В.Д. Мазуровым, а также красноярские и московские ученые. В результате классификация была получена и в общей сложности составила около 10 тыс. страниц журнального текста. Однако теперь возникли новые задачи. Дело в том, что полностью  разбираются в этой классификации на самом деле только несколько человек в мире. Нужно  ее упрощать, делать ее ревизию, и одна из задач — получение единого описания конечных простых  неабелевых групп. 

Классификация, о которой идет речь, построена из групп различной природы. Их можно разделить на три больших класса: класс знакопеременных групп, большой массив групп, названный по имени известного французского математика К. Шевалле, и третий класс — спорадические группы. Эти три класса внутри устроены понятным образом, но сопоставлять их между собой очень трудно. 

Задача создания единого представления о конечных простых группах связана с построением конечных геометрий. Для каждой простой группы такая геометрия построена, но пока не удалось выделить класс с минимальным количеством аксиом, который представлял бы все конечные простые группы и допускал полную классификацию.                

В процессе развития теории конечных геометрий в ней возникают свои внутренние задачи. Геометрия как бы «забывает», для чего она была создана, и развивается по собственной логике.

Типичный пример — переход от изучения дистанционно транзитивных графов к классу дистанционно регулярных графов. Граф — упорядоченная пара двух множеств (вершин и ребер) — очень модное сейчас понятие. Оно используется в самых различных областях знания — в химии, механике, теории информации. Дистанционно транзитивный граф – это граф, в котором для любых двух пар вершин, находящихся на одинаковом расстоянии, найдется автоморфизм графа, переводящий первую пару во вторую. Дистанционно регулярный граф — это граф, в котором число вершин в пересечении окрестностей двух вершин зависит не от выбора пары, а только от расстояния между этими вершинами.               

В области теории графов, конечных геометрий и блок-схем А.А. Махнев активно работает с конца 80-х годов. Большой резонанс вызвали его результаты по однородным расширениям частичных геометрий, по описанию расширений частичных геометрий, содержащих малые m-подграфы. Ему удалось сделать последний шаг в классификации однородных расширений частичных геометрий с короткими прямыми. Между прочим, по теории графов у него есть совместные публикации с сыном Александром, студентом третьего курса матмеха УрГУ.          

Работы А.А. Махнева неоднократно входили в число лучших по Академии наук. Цикл его трудов, посвященный изучению плотно вложенных подгрупп в конечных группах, является существенным вкладом в ревизию классификации конечных простых групп и удостоен почетного диплома АН СССР.

— Во многих естественных науках сегодня трудно достичь существенных результатов в одиночку, вне коллектива, оснащенного современным оборудованием. А математические открытия по-прежнему совершаются в уединении?

— Да, в математике и сегодня решающее значение имеет индивидуальный вклад. Научные результаты обычно публикуются под фамилией одного автора, редко двух-трех, практически никогда больше. Но, разумеется, каждый из нас ощущает принадлежность к какой-либо математической традиции. Я скажу несколько слов об уральской алгебраической школе, возникшей в 30-е годы прошлого века. Основателем ее был Сергей Николаевич Черников, впоследствии член-корреспондент Академии наук Украины. Кстати, он был учеником О.Ю. Шмидта. В конце 30-х годов С.Н. Черников заведовал кафедрой математики в УПИ. Именно там тогда был центр математической жизни. Через семинар Черникова прошли многие выдающиеся уральские математики, в частности член-корреспондент РАН В.К. Иванов и академик Н.Н. Красовский. Сергей Николаевич был и первым заведующим отделом алгебры нашего института. Ученики его по теории групп — известные математики академик В.М. Глушков, работавший над созданием советского компьютера, способного конкурировать с зарубежными образцами, член-корреспондент М.И. Каргаполов. С.Н. Черников занимался также линейными неравенствами и их приложениями к экономике, и это направление продолжает в нашем институте еще один его ученик — академик И.И. Еремин.               

Вообще алгебра у нас идет от двух корней: академическая, как уже было сказано, — от С.Н. Черникова, университетская — от П.Г. Канторовича, зав. кафедрой алгебры и геометрии  УрГУ в 50–60-е годы. Там развиваются несколько иные направления — общая алгебра, теория полугрупп, теория многообразий.

Иногда алгебраисты становятся специалистами в других областях. Фундаментальная алгебраическая подготовка дает очень многое. С другой стороны, если человек имеет техническое образование, а затем глубоко изучает алгебру, он может достичь выдающихся высот в своей специальности, например в теории информации. Хотя тот, кто «отравлен» алгеброй, редко интересуется чем-то еще, разве что по необходимости. Так, Черников в годы Великой Отечественной войны занялся линейными неравенствами, чтобы решить задачу раскроя танковой брони.  

Вернемся, однако, к нашему академическому отделу алгебры и топологии. Сегодня это весьма мощная структура, в составе которой 9 докторов наук и три сектора: теории групп во главе с доктором физико-математических наук А.С. Кондратьевым, топологии во главе с доктором физико-математических наук Н.В. Величко и сектор алгебры и ее приложений, которым заведую я. Без преувеличения могу сказать: такого количества специалистов по теории групп в рамках одного института в России нет нигде. 

Нам удается поддерживать мировой уровень, потому что алгебраисту не нужно никакого оборудования. Необходимы доступ к информации, возможность публиковать свои результаты и, главное, голова. Экономический развал нас, к счастью, коснулся мало. Есть Интернет, можно работать с реферативными журналами. Я не раз принимал участие в международных математических конгрессах: в Варшаве (1983), Берлине (1998), Пекине (2002). 

— Что вас интересует кроме алгебры?

— Я играю в шахматы. Жаль, это хобби не дает возможности переключаться, поскольку, как и математика, требует напряженной умственной работы. Десять лет назад стал кандидатом в мастера, но с тех пор, правда, квалификацию подтверждал только один раз. Еще я автолюбитель. С Альбертом Ивановичем Старостиным, моим учителем, в начале 80-х мы выиграли любительское ралли «Золотое кольцо Урала». 

Но вообще-то времени на хобби у Александра Алексеевича особенно и нет. Ведь помимо академической деятельности он преподает в Уральском университете и в УГТУ—УПИ, где 12 лет заведовал кафедрой вычислительных методов и уравнений математической физики, много времени уделяет ученикам и студентам. Сочинил даже два куплета для студенческого гимна математиков. Стихи уже прошли международную проверку в Будапеште, на юбилее его друга Дьюлы Катоны — директора Института математики Венгерской академии наук. Вот эти строчки (на мотив «Беловежской пущи»):

  Сосчитав градиент 
                                   в двусторонней игре,
    В седловидную точку 
                                    стремимся проворно.
       Зная матрицы спектр, 
                                восстановим легко
       Квадратичную форму, 
                                      квадратичную форму.
    Бодро взяв интеграл, 
                                 мы построим ряды
      И под радостный звук 
                               пионерского горна
   Через тензорный лес 
                                позовет нас она —
      Квадратичная форма, 
                                     квадратичная форма. 

Е. ПОНИЗОВКИНА
Фото С.НОВИКОВА