Математика как оптимальный выбор

Уральскую математическую школу можно уподобить разросшемуся, хотя и молодому дереву с корнями, уходящими вглубь, к корифеям российской математики, и мощными ветвями — основными школами, образующими обширную крону. Сегодня у нас в гостях — член-корреспондент РАН Александр Георгиевич Ченцов, представитель самой крупной ветви уральской математики — теории процессов управления во главе с академиком Н.Н. Красовским. В ИММ УрО РАН он заведует отделом управляемых систем.


 

   …Александр Ченцов стал математиком не сразу. В школьные годы он увлекался радиотехникой, собирал радиоприемники, поэтому поступил на радиофак УГТУ-УПИ. По словам Александра Георгиевича, математику там преподавали основательно, интересными были и технические дисциплины, использующие математику. Особенно запомнились лекции Н.А. Нехонова, Э.А. Лидского, Ю.Н. Болотова, Б.А. Панченко. И дипломная работа у него была с математическим уклоном. На ее основе Ченцов вместе с научным руководителем профессором Г.В. Чирковым написал статью, опубликованную в журнале «Известия вузов. Радиоэлектроника». Однако сразу после окончания института Александра призвали в армию, и научные занятия на два года прервались. После демобилизации он предполагал вернуться в политехнический. Но вскоре, чувствуя сильное желание углубленно заниматься наукой, пришел в Институт математики и механики, на прием к директору академику Н.Н. Красовскому. Фактически это была первая серьезная научная встреча после двух армейских лет. Николай Николаевич попросил своих сотрудников — будущих академиков Юрия Сергеевича Осипова и Александра Борисовича Куржанского поэкзаменовать молодого человека. Сам Александр Георгиевич утверждает, что отвечал неважно, используя неуклюжие конструкции, — за два года многое подзабыл. Однако экзаменаторы, вероятно, были иного мнения, потому что после еще одной беседы Николай Николаевич взял его в институт, в отдел динамических систем. Первое время молодой сотрудник просто ходил на семинары и слушал выступления, мало что понимая. Но постепенно он начал ориентироваться в новой для него области — теории управления. Примерно через год Николай Николаевич сформулировал одну задачу, которой никто до тех пор не занимался, и предложил Ченцову поработать с ней. Это было в конце 1972 — начале 1973 г. Тогда же на кафедре прикладной математики УрГУ, куда Ченцов пришел, чтобы показать Н.Н. Красовскому первый вариант своей статьи, он впервые увиделся с Андреем Измайловичем Субботиным. Через пять минут разговора возникло чувство, что они давно уже знакомы. По словам Александра Георгиевича, работа и общение с академиком А.И. Субботиным — выдающимся ученым и замечательным человеком — дали ему очень многое. Впоследствии у них вышло несколько совместных статей и монография по теории дифференциальных игр под редакцией Н.Н. Красовского (1981).
 

Вскоре у Ченцова была готова кандидатская диссертация, которую Николай Николаевич предложил защищать в Москве, в МИАНе. На заседании ученого совета присутствовал сам Лев Семенович Понтрягин — основоположник теории управления. После успешной защиты Александр Георгиевич по предложению учителя занялся построением метода программных итераций и аппарата обобщенных квазистратегий.
 

Вот что он говорит о своих исследованиях того периода:
 

— В ранних работах школы Красовского были построены мощные методы теории программного управления и на их основе исследовались так называемые регулярные дифференциальные игры, в которых решение задачи управления по принципу обратной связи непосредственно извлекалось из более простых задач программного управления. Однако условия регулярности выполняются не всегда. Для решения нелинейных дифференциальных игр в общем случае нужно было построить метод итераций, который в пределе позволял получать требуемые решения без наложения дополнительных условий.
 

Итерация — это повторное применение какой-либо математической операции, или правило, универсальная процедура. Известны случаи, когда требуется бесконечное число итераций, однако в некоторых нерегулярных дифференциальных играх для построения решения достаточно всего нескольких. Оказалось также, что метод программных итераций хорошо согласуется с конструкциями так называемых квазистратегий. Первые работы по квазистратегиям принадлежат зарубежным математикам Э. Роксину, Н. Кэлтону, Р. Эллиотту. Я же обратился к квазистратегиям в связи с задачами управления по принципу обратной связи: было интересно установить эквивалентность двух формализаций.
 

На мой дилетантский вопрос, используется ли метод программных итераций для решения каких-либо прикладных задач, Александр Георгиевич ответил:
 

— Метод иногда применяется в вычислительных операциях, но все же считать им плохо. Лучше использовать его для качественных выводов, для поиска условий, которые обеспечивают экономное решение. Как говорит Н.Н. Красовский, теория — это теория, она должна формировать мировоззрение. А чтобы решить прикладную задачу, теорию приходится огрублять. Здесь требуется большое искусство.
 

Свои результаты по методу программных итераций А.Г. Ченцов опубликовал в «Докладах Академии наук» и в 1977 г. защитил докторскую диссертацию. Другие математики — член-корреспондент А.А. Меликян, доктора наук В.И. Ухоботов, С.В. Чистяков — также стали приходить к идеям итерационных построений. Но работа Ченцова была первой.
Какое-то время ушло на оформление и развитие метода. Он был весьма элегантен и хорош в употреблении, так что, по признанию Александра Георгиевича, жалко было с ним расставаться. Правда, Николай Николаевич сказал, что хорошо бы поискать новые задачи. И действительно, вскоре Ченцов почувствовал, что возможности совершенствования сделанного исчерпаны, и последовал совету учителя.
 

В 1981 г. при отделе доктора физико-математических наук В.Д. Батухтина была создана лаборатория для решения прикладных задач. Нужен был руководитель, и им был назначен А.Г. Ченцов. Трудно было начинать все с нуля, да и особого времени на «чистую» науку не было. Однако его внимание привлекла теория интегрирования по конечно-аддитивной мере.
 

— В 30-е годы прошлого века эту теорию развивали Т. Гильдебрандт и независимо Г.М. Фихтенгольц и Л.В. Канторович, — говорит Александр Георгиевич, — Несколько позднее последовали глубокие результаты А.Д. Александрова, Иосиды и Хьюитта, Лидера. Разумеется, это направление возникло в связи с построением классической теории меры в трудах французского ученого А. Лебега (эта теория получила затем мощное развитие в исследованиях Каратеодори, Лузина, Фреше и многих других математиков). На основе классической теории меры академик А.Н. Колмогоров предложил изящную аксиоматику современной теории вероятностей, имеющей многочисленные приложения. Основным постулатом здесь было предположение о счетной аддитивности меры, используемой при интегрировании. Конечная аддитивность отвечает менее ограничительному предположению, но и приводит к не столь изящным, как в теории Лебега, выводам. Более того, возникают и некоторые патологии.
 

Конечно-аддитивная версия теории меры заинтересовала Ченцова в связи с построением расширений неустойчивых задач управления с импульсными ограничениями. В теории управления эти ограничения задавались достаточно грубо. Но оказалось, что даже мизерное ослабление ограничений дает зачастую скачок результата. Выяснить, какие возможности возникают при упомянутом ослаблении ограничений, позволяет использование конечно-аддитивных мер. По этой тематике Александр Георгиевич опубликовал три монографии (одну в соавторстве с С.И. Мориной), они переведены на английский язык и изданы в США и Голландии. В 1985 г. А.Г. Ченцову и В.Д. Батухтину в составе авторского коллектива была присуждена Государственная премия СССР.
 

В 1986 г., когда Батухтин стал ректором Челябинского университета, А.Г. Ченцов возглавил отдел управляемых систем. Его сотрудники занимались прикладными исследованиями, которые в начале 90-х годов перестали финансироваться. Надо было найти новые направления и новый круг прикладных задач. Математики занялись задачами маршрутизации.
 

— Самая известная из них — так называемая задача коммивояжера, — говорит Александр Георгиевич. — Бизнесмену надо объехать несколько городов и продать свои товары. Проезд стоит денег, поэтому он должен выбрать оптимальный маршрут. Вариантов такого выбора очень много. Если, к примеру, надо объехать 10 городов, то вариантов будет 10! (десять факториал). Эта очень трудная в вычислительном отношении задача, ее решение — своеобразный математический спорт, где регистрируются мировые рекорды. Так, на международном конгрессе в Берлине (1998) группа американских математиков объявила о решении задачи посещения 13 509 городов. В Интернете появлялись сведения, что получено решение для 20 тысяч городов, а сейчас решаются задачи и большей размерности.
 

На практике возникает много задач, подобных задаче коммивояжера, но еще более сложных, с различными ограничениями. Так, в реальности надо зачастую посещать не точки, а множества, а значит, вариантов становится еще больше. Вот примеры практических задач маршрутизации: обеспечение экономных космических перелетов в условиях дефицита топлива в рамках программы очистки околоземного пространства от космического мусора; оптимальный вариант облета островов архипелага; выбор наиболее рационального порядка действий человека, вынужденного работать в экстремальных условиях (например, на атомной станции), чтобы время нахождения там свести к минимуму. В связи с задачами маршрутизации возникли задачи о распределении заданий между участниками, в частности актуальная задача о распределении заданий между процессорами суперкомпьютера.
 

Сегодня Александр Георгиевич Ченцов продолжает развивать все три направления, которыми занимался в течение жизни: и метод программных итераций, и расширения с использованием аддитивных мер, и задачи маршрутизации. Много у него учебной работы на математико-механическом факультете УрГУ и на радиофаке УГТУ-УПИ, и эта работа для него очень важна — надо преодолевать разрыв между поколениями, начавшийся в кризисные 90-е годы. Тогда многие из его талантливых учеников ушли в бизнес, а математика и бизнес, по словам Ченцова, вещи несовместные. Зато сыновья Павел и Алексей защитили кандидатские диссертации по прикладной математике, оба — сотрудники ИММ. Работают они также в фирме, которой успешно руководит бывший сотрудник института кандидат физико-математических наук Д.Н. Гайнанов. А отец Александра Георгиевича Георгий Павлович преподавал механику в авиационном училище. Так что получается уже династия Ченцовых — одно из ответвлений уральского математического древа.
 

Е. ПОНИЗОВКИНА
Фото С. НОВИКОВА